Incompressibility als Model voor de Vrije Wil

Is Incompressibility een Model voor Vrije Wil

Definities

De Kolmogorov-complexiteit van een string is de lengte van de kortste beschrijving van deze string in enige gegeven universele beschrijvingstaal¹.

In zijn Tractatus, stelt Ludwig Wittgenstein²: Der Satz ist ein Bild der Wirklichkeit. Der Satz ist ein Modell der Wirklichkeit, so wie wir sie uns denken. Dit modelbegrip kan vervolgens worden geformaliseerd met behulp van elementen uit de (formele) model theorie (wiskunde). Iedere string wordt opgevat als een Satz en dus als een theorie³, en iets is een model van deze theorie indien de theorie waar is in dat model⁴.

Percolatie theorie beschrijft het gedrag van “connected clusters in a random graph”⁵.

 

Interpretatie

De Kolmogorov-complexiteit (K_c) beschrijft een model (van een theorie) in wiskundige (algoritmische) termen op basis van het beginsel van de minimale beschrijvingslengte, te weten de lengte van het kortste computerprogramma (i.c., een turing machine⁶) om het model (van die theorie) te genereren.

In de percolatie theorie kan, model theoretisch, het gedrag (P) van “connected clusters in a random graph” worden opgevat als een string en dus als een (model van een) theorie. Vervolgens kan dan de vraag worden gesteld naar de K_c van P: K_c(P). Deze wordt bepaald door de (kortste) turing machine die P geneert. De lengte van deze turing machine (aangeduid met |K_c(P)|) geeft dan de Kolmogorov-complexiteit van P.

Opmerking: omdat K_c afhangt van de beschrijvingstaal en K_c zelf geen berekenbare functie is, is de K_c -theorie een Baron van Münchhausen jezelf aan je eigen pruik uit het moeras trekken. Door deze impredicativiteit kan de K_c -theorie vacuously true⁷ worden (en daarmee zinledig).

Opmerking: er is hier gekozen voor een Turing (finite state) Machine formulering in plaats van het binary lambda calculus (BLC) formalisme.

Uitgaande van het bovenstaande, worden de volgende drie postulaten geponeerd, te weten:

1. het brein kan worden opgevat (gemodelleerd) als “connected clusters in a random graph”⁸;
2. het gedrag van “connected clusters in a random graph” kan worden beschreven (gemodelleerd) met behulp van de percolatie theorie; en
3. de Kolmogorov-complexiteit geeft een zinvolle (betekenisvolle) maat voor dit gedrag.

Zij nu gegeven:

• brein B, met ({ clusters } ; random graph )
• zodanig dat ieder “brein gedrag” b_i overeenkomt met (adequaat gemodelleerd wordt door) percolatie proces p_i

Dan representeert K_c(p_i) de (kortste) turing machine die p_i genereert, met |K_c(p_i)| = l_i

 

Hypotheses

Gegeven: |K_c(p_i)| = l_i

Hypothese 1: ∃p_i (|p_i| = l_i ) i.e., p_i is incompressible⁹ (ergo random);

Hypothese 2: ∀p_i (|p_i| > l_i ) i.e., p_i is compressible (ergo nooit random)

Er kunnen grofweg twee paradigmata worden onderscheiden.

De Kopenhaagse interpretatie van de kwantummechanica (lees Bohr cs¹⁰) gaat uit van een non-deterministische werkelijkheid. In deze interpretatie spreekt men van “genuinely random” want de werkelijkheid is “completely unpredictable” en concludeert men tot “fundamental randomness” en “lack of causality in nature”, om tenslotte te stellen dat “randomness and indeterminism¹¹ are a fundamental property of nature”¹².

De tegenhanger hiervan (lees Einstein cs) gaat uit van causale geslotenheid en postuleert een deterministische¹³ werkelijkheid, een werkelijkheid waarin geen “genuinely random” kan bestaan want alles is immers principieel “predictable”. Men gaat (meestal) uit¹⁴ van (de mogelijkheid tot) grand reductionism (“To reduce the world of physical phenomena to a finite set of fundamental equations (or principles)” – Freeman Dyson¹⁵).

De hypotheses 1 en 2 kunnen nu worden verfijnd tot het volgende.

Notatie:

◇ het is mogelijk dat

∃ er is tenminste 1

□ het is noodzakelijk dat

∀ voor alle

/\ (logische) en

→ als … dan (x → y leest als: als x dan y)

|- kan afgeleid worden uit (x |- y leest als: y kan syntactisch worden afgeleid uit x)

|= is waar in (x |= y leest als: y is semantisch waar in x, en derhalve als: x is een model van y)

Hypothese 1 in de Kopenhaagse interpretatie van de kwantummechanica geldt: Gegeven: |Kc(pi)| = li Dan: ◇∃pi (|pi| = li ) |= “pi is een model voor vrije wil” Lees: in het model [◇∃pi (|pi| = li ) ] is de theorie “pi is een model voor vrije wil” waar.

 

Hypothese 2 in het deterministische (grand reductionism) paradigma geldt: Gegeven: |Kc(pi)| = li Dan: □∀pi (|pi| > li ) |= “pi kan geen model zijn voor vrije wil” Lees: in het model [□∀pi (|pi| > li ) ] is de theorie “pi kan geen model zijn voor vrije wil” waar.

Opmerking: wiskundig geldt dat in de Kopenhaagse interpretatie van de kwantummechanica de verzameling { l_i } gesloten¹⁶ is, terwijl deze in een grand reductionism interpretatie open¹⁷ is.

Opmerking: de notie van vrije wil is hier, min of meer informeel, ontleent aan elementen uit V. Lamme¹⁸, de Mind Papers¹⁹ en de Determinism and Freedom Philosophy Website²⁰.

 

Uitwerking

Met behulp van het begrippenkader uit de Kolmogorov-complexiteit theorie, de model theorie en de percolatie theorie kan een redelijk precieze (operationaliseerbare) formulering worden gegeven wat er cognitief neurowetenschappenlijk (eventueel) onder vrije wil wordt verstaan. Het spreekt dat deze uitspraak geldt onder een aantal belangrijke beperkende voorwaarden:

• de K_c -theorie gaat op ondanks haar (significante) kwetsbaarheid dat zij slechts vacuously true is;
• het brein wordt gemodelleerd als “connected clusters in a random graph” waarvan het gedrag (voldoende adequaat) wordt beschreven met behulp van de percolatie theorie; en
• K_c (p_i) modelleert de vrije wil indien en voor zover |p_i| = l_i

Het ligt voor de hand dat, op zijn best, het brein slechts partieel kan worden gemodelleerd met behulp van het artefact “connected clusters in a random graph”. Ook zal het gedrag van een dergelijk artefact (uiteindelijk) niet (voldoende) adequaat kunnen worden beschreven met behulp van de (huidige inzichten in de) percolatie theorie. Dit probleem wordt hier verder niet nader beschouwd, en richt de focus zich op de derde voorwaarde.

De vraag of K_c (p_i), respectievelijk |p_i| = l_i de vrije wil modelleert veronderstelt dat vrijheid enkel kan bestaan in situaties die onbepaald zijn, en ontologisch postuleert de Kopenhaagse interpretatie inderdaad dat de werkelijkheid niet alleen onbekend is (daarover zijn Einstein cs het wel met Bohr cs eens) maar ook onbepaald (en dus onbepaalbaar, iets waar Einstein cs het helemaal niet mee eens zijn). De argumenten ter ondersteuning van de bewering dat |p_i| = l_i de vrije wil modelleert volgen nu, met een rekkelijke gebruikmaking van default-logica²¹, uit het ongerijmde.

Als: in het deterministische paradigma geldt: ∃pi (|Kc(pi)| = li /\ |pi| = li) Dan: aangezien in het deterministische paradigma de vrije wil niet bestaat (immers in dit paradigma valt alles onder de causale geslotenheid) en aangezien alle pi compressible moeten zijn (random bestaat eveneens niet en er kan dus geen pi voorkomen die incompressible is), geldt er dus dat: □∀pi (|Kc(pi)| = li → |pi| > li ) Ergo: ∃pi (|pi| = li) /\ □∀pi (|pi| > li ) |- tegenspraak

 

Als: in de Kopenhaagse interpretatie geldt: ∀pi (|Kc(pi)| = li /\ |pi| > li ) Dan: aangezien in de Kopenhaagse interpretatie volgens de onzekerheidsrelatie van Heisenberg “randomness” en niet-gedetermineerdheid fundamentele disposities zijn van de werkelijkheid moeten er pi kunnen voorkomen die incompressible zijn: ◇∃pi (|Kc(pi)| = li → |pi| = li ) Ergo: ∀pi (|pi| > li ) /\ ◇∃pi (|pi| = li) |- tegenspraak

Uit deze twee duaal-samenhangende tegenspraken kan, informeel²², worden afgeleid dat als in een grand reductionism context het niet bestaan van de vrije wil samenhangt met de noodzakelijkheid van compressibilty, dat dan de mogelijkheid tot vrije wil bepaald wordt door het wel mogelijk zijn van incompressibilty in een Kopenhaagse interpretatie.

Anders geformuleerd:

• omdat in het deterministische paradigma { l_i } open is en er in dit paradigma geen vrije wil bestaat, kan een p_i die de vrije wil (zo deze al bestaat) modelleert enkel in het complement van deze { l_i } zitten;
• het complement is gedefinieerd als de verzameling p_i die incompressible zijn en daarmee randomness modelleren

{ (|K_c(p_i)| = l_i /\ |p_i| = l_i ) }

• dit complement is een deelverzameling van de { l_i } uit de Kopenhaagse interpretatie;
• “if at all” dan is randomness dus een model voor vrije wil.

 

Nabeschouwing

Strikt genomen impliceert de onzekerheidsrelatie van Heisenberg dat uiteindelijk voor alle p_i geldt dat gereduceerd tot op quantum niveau |p_i| = | l_i| en dat in de Kopenhaagse interpretatie derhalve alle “brein gedrag” randomness vertoont en derhalve als vrij zou kunnen worden aangemerkt.

In het grand reductionism paradigma daarentegen gaat men uit van “a finite set of fundamental equations”. De vraag is derhalve gerechtvaardigd naar de K_c van deze (verzameling van) vergelijkingen {e_i}. Aangezien het om fundamentele vergelijkingen gaat, kunnen deze niet verder worden gereduceerd tot nog meer fundamentele vergelijkingen. Dit betekent dat iedere e_i incompressible moet zijn. De stelling dat □∀s_i (|K_c(s_i)| = l_i → |s_i| > l_i ), waarbij s_i staat voor een willekeurige string (lees theorie) uit het grand reductionism paradigma, gaat derhalve niet op voor elementen uit {e_i}.

Beide paradigmata convergeren (in de limiet: s_i → e_i) als het ware tot □∀s_i (|K_c(s_i)| = l_i → |s_i| = l_i ), maar geven daar een totaal tegenovergestelde ontologische duiding aan:

• in de Kopenhaagse interpretatie is uiteindelijk alles onbepaald en onbepaalbaar en daarmee random; en
• in het grand reductionism paradigma is uiteindelijk alles bepaald en bepaalbaar en daarmee precies het tegenovergestelde van random.

Het lijkt er dus op dat in de Kolmogorov-complexiteit theorie het spreekwoordelijke “les extrêmes se touchent” zich voordoet²³, met als kanttekening dat de randomness van de Kopenhaagse interpretatie een object niveau random is en dat de {e_i} in het grand reductionism paradigma met goed recht een randomness op meta niveau kan worden genoemd.

In het grand reductionism paradigma zou een herformulering van de (axioma’s van de) Kolmogorov-complexiteit theorie deze – academisch – geschikter maken voor het hier beschreven discours (vertoog), te weten:

de grp_Kolmogorov-complexiteit (grp_K_c) van een string (lees: model van een theorie) is de kortste beschrijving van de afleiding (theorem prover) van deze string uit {e_i} in enige gegeven universele beschrijvingstaal, waarbij:

|grp_K_c(e_i)| = |e_i|

∀s_i ∉{e_i} ( |grp_K_c(s_i)| < |s_i| )

Het idee van onbepaaldheid uit de Kopenhaagse interpretatie sluit goed aan bij Heideggers Sein und Zeit (1926). Heidegger stelt (informeel geformuleerd) dat de mens vrij is (kan zijn) omdat in het heden de toekomst niet alleen onbekend maar ook principieel onbepaald is. In het heden wordt de lineaire tijd²⁴ van verleden en toekomst als het ware horizontaal²⁵ (lees symmetrisch). In die horizontale tijdelijkheid valt²⁶ dan de “vrije” beslissing²⁷.

Het is duidelijk dat het begrip vrijheid lastiger in positieve zin te duiden is in een volledig deterministische wereld, waar absolute causale geslotenheid heerst (en er dus geen vrije wil kan bestaan). Toch biedt het door Dennett²⁸ geformuleerde compatibilisme²⁹ hier een mogelijke uitweg als het stelt dat de werkelijkheid (mogelijk) deterministisch is maar dat de principiële onbekendheid ervan desalniettemin goed kan worden opgevat als vrijheid³⁰.

Tenslotte, al het bovenstaande brengt de oplossing van het probleem van de vrije wil an-sich inhoudelijk geen stap dichterbij, of om met Ludwig Wittgenstein te spreken:

[6.53]: Wir fühlen, dass, selbst wenn alle möglichen wissenschaftlichen Fragen beantwortet sind, unsere Lebensprobleme noch gar nicht berührt sind.

[6.54] Meine Sätze erläutern dadurch, dass sie der, welcher mich versteht, am Ende als unsinnig erkennt, wenn er durch sie – auf ihnen – über sie hinausgestiegen ist. (Er muss sozusagen die Leiter wegwerfen, nachdem er auf ihr hinaufgestiegen ist.) Er muss diese Sätze überwinden, dann sieht er die Welt richtig.

 

Disclaimer

Ondanks een grote sympathie voor Heidegger (en Sartre) en met een oprechte fascinatie voor de vaak vreemde, onbegrijpelijke uitspraken van de quantum mechanica³¹, reken ik mijzelf tot een incompatibilist in het grand reductionism (determinisme) paradigma, zij het met een afwijking naar Feyerabends “anything goes”, zodat ik met goed recht ook een libertair kan worden genoemd.